Para cualquier sistema algebraico existe una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras aplicaciones del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
- Cerrado: El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
- Conmutativo: Se dice que un operador binario " * " es conmutativo si A * B = B * A para todos los posibles valores de A y B.
- Asociativo: Se dice que un operador Binario " * " es asociativo si (A * B) * C = A * (B * C) para todos los valores booleanos A, B y C.
- Distributivo: Dos operadores binarios " * " y " % " son distributivos si A * (B % C) = (A * B) % (A * C) para todos los valores booleanos A, B y C.
- Identidad: Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " * " si A * I = A.
- Inverso: Un valor Booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " * " si A * I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Usaremos el siguiente juego de operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son 0 y 1, a menudo llamaremos a estos dos valores como Falso y Verdadero.
- El símbolo * representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminara el símbolo * por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a eso le llamamos el producto entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A + B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en este texto utilizaremos el símbolo "~" para denotar la operación lógica, por ejemplo, ~A denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la presedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúa de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.
También usaremos los siguientes postulados:
P1.- El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT.
P2.- El elemento de identidad es respecto a * es 1 y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT.
P3.- Los operadores * y + son conmutativos.
P4.- * y + son distributivos con respecto al otro, esto es, A * (B + C) = (A * B) + (A * C) y A + (B * C) = (A + B) * (A + C).
P5.- Para cada valor A existe un valor ~A tal que A * ~A = 0 y A + ~A = 1. Este valor es el complemento lógico de A.
P6.- * y +son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A(BC) y (A + B) + C = A + (B + C).
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando estos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas mas importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:
- Teorema 1: A +A = A
- Teorema 2: A * A = A
- Teorema 3: A + 0 = A
- Teorema 4: A * 1 = A
- Teorema 5: A * 0 = 0
- Teorema 6: A + 1 = 1
- Teorema 7: ~(A +B) = ~A * ~B
- Teorema 8: ~(A * B) = ~A + ~B
- Teorema 9: A + A * B = A
- Teorema 10: A *(A + B) = A
- Teorema 11: A + ~AB = A + B
- Teorema 12: ~A * (A + ~B)= ~A ~B
- Teorema 13: AB + A ~ B = A
- Teorema 14: (~A + ~B) * (~A + B) = ~A
- Teorema 15: A +~A = 1
- Teorema 16: A * ~A = 0
Los teoremas 7 y 8 son conocidos como los teoremas de Morgan en honor al matemático que los descubrió.
Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos
aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y
una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1) y,
3- Tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
Distributiva respecto a la primera
función: (x +y)z = xz + yz
Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
Complemento respecto a la primera función: x + ~x = 1
Complemento respecto a la segunda función: x~x = 0
Propiedades Del Álgebra De Boole
Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
Maximalidad del 1: x + 1 = 1
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: ~~x = x
Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
Ley de DeMorgan respecto a la primera función: ~ (x + y) = ~x ~y
Ley de DeMorgan respecto a la segunda función: ~ (xy) = ~x + ~y
Función Booleana
Una función booleana es una aplicacion de A x A x A x... A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tienen extructura de Álgebra Boole.
Supongamos que 4 amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada 1 por xi . La función devolvera si (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolvera 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolvera 0.
Producto mínimo (es el numero posible de casos) es un producto en el que parecen todas las variables o sus negaciones.
El numero posible de casos es de 2^n.
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a lo s amigos. Los posibles casos son:
Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales 1.
En nuestro ejemplo la función booleana sera:
f(A, B, C, D) =
ABCD + ABC~D + AB~CD + A~BCD + ~ABCD
Teoremas Básicos del Álgebra Booleana
Son:
Les dejo un vídeo de YouTube, es una buena explicacion de ejercicios en cuanto Álgebra Booleana:
https://www.youtube.com/watch?v=sdmL5p_yLbA
